根式相关知识(根式的形式)

1. 根式相关知识

主要是加减的运算。但基本运算也包括开方运算。首先是根据定义进行计算的。一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根。如果设这个数是x，则x等于正负根号a。

其次就是性质运算，比如根号a×根号b=根号下ab。反过来根号下ab等于根号a×根号b。还有根号下a的平方等于a的绝对值。还有根号a括号外的平方等于a。我们了解了这些知识，就可以进行二次根式的化简以及合并同类二次根式等。

2. 根式的形式

1、分类不同

一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根。

2、特点不同

判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

3、运算方式不同

二次根式混合运算与实数运算相同的运算顺序相同，先乘方，在乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。

平方根中负数在实数系内不能开平方。只有在复数系内，负数才可以开平方。负数的平方根为一对共轭纯虚数。

3. 根式知识点总结大全

开根号基础公式：①√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚ 这个可以交互使用。这个最多运用于化简，如：√8=√4·√2=2√2；

②√a／b=√a÷√b﹙a≥0b﹥0﹚；

③√a=|a|（其实就是等于绝对值）这个知识点是二次根式重点也是难点。

当a=0时，√a=0；

当a＜0时，√a=－a(等于它的相反数)；

④分母有理化

4. 根式的概念和运算

一、定义不同

1、平方根：平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根。

2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。在实数范围内a必须大于或等于零，即a为非负数在复数范围内，定义i的平方是-1，即-1的平方根是+/-i，记作i^2=-1。

二、运算方法不同

1、平方根：每次补数需要补两位，所以被开方数不只一个数位时，要保证补数不能夹着小数点。例如三位数，必须单独用百位进行运算，补数时补上十位和个位的数。

2、开平方：令十位数值为A，个位数值为B，即为A*10+B，根据二数和的平方有：(Ax10+B)^2=(Ax10)^2+2(Ax10)xB+B^2=(A^2)x100+(20A+B)xB。

三、性质不同

1、平方根：一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

2、开平方：如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。例如：求的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到。笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值。

5. 根式的基本概念

八年级

概念:如果:a的平方=m，那么，a是m的平方根。记为:根号下m=a。一个正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。概念:一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，特别的，0的算术平方根是0。如:25的平方根是±5，算术平方根是5。

6. 根式的运算法则公式

根号的运算法则如下:

1、相乘时：两个有平方根的数相乘等于根号下两数的乘积，再化简；

2、相除时:两个有平方根的数相除等于根号下两数的商,再化简;

3、相加或相减:没有其他方法,只有用计算器求出具体值再相加或相减;

4、分母为带根号的式子,首先让分母有理化,使②分母没有根号,而把根号转移到分

5、同次根式相乘(除) ,把根式前面的系数相乘(除) ,作为积(商)的系数;把被开方数相乘(除) ,作为被开方数，

7. 根式题型及解法

九年级数学，一元二次方程，有一个非常重要的内容，就是根的判别式。

一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式是，△=b²-4ac.

①若△=b²-4ac＞0，则一元二次方程有两个不相等实数根。②若△=b²-4ac=0，则一元二次方程有两个相等的实数根。③若△=b²-4ac＜0，则一元二次方程没有实数根。

反之，亦成立。

题型一，根据△的情况来判定方程的根的情况。例1题中，第1小题，原方程没有实数根，则△＜0,得出m的取值范围。

再把m的取值范围，代入到第2小题的△=b²-4ac中，得出结论。

例2题，第1小题，不解方程，判定根的情况，是不是很简单？通过计算，△=b²-4ac=4＞0，所以，原方程有两个不相等的实数根.

第2小题，原方程有一个根是x=3，代入原方程，即可求出m的值.

例3题，原方程有两个实数根，那么就有可能是两个相等，或者两个不相等实数根。所以，△=b²-4ac≥0，即可求出t的值。

后面要是学了二次函数的同学就很容易理解，暂时还没有学到二次函数的同学，可以暂时略过。

例4题，a,b是等腰三角形的两边，而且是一元二次方程的两个根。

凡是讲到等腰三角形，没有明确腰和底的时候，一定要记得分类讨论。不管是哪种题型，只要和等腰三角形有关.

例5题，一元二次方程有两个相等的实数根，则△=b²-4ac=0，即可求出m的取值。

再分别代入代数式，求出代数式的值，非常简单常见的考试题型。

例6题，第1小题，求证方程总有两个不相等的实数根。那么只要计算△=b²-4ac的结果，判定它的正负性，就好。

第2小题，把已知的一个根代入原方程，即可求出m的值。当然，此题不需要求出m的取值，整体代入更简单。

例7题，先根据，根与系数的关系，分别得到两根之和，和两根之积的代数式，依据题意得出一个关于m的方程，解得m=6或者m=-4

再根据题意，原方程有两个实数根，即△=b²-4ac≥0，求出m的取值范围，得出符合题型的m的值。

例8题，二次根式，被开方数≥0，一次函数X的系数≠0，所以k-1＞0，求出k＞1.

再根据根的判别式，△=b²-4ac＜0，所以原方程没有实数根。

例9题，一道非常经典，根的判别式和三角形形状判定，经典考试题型。

因为原方程有两个相等实数根，所以△=b²-4ac=0，通过等式变形，得出结论。

例

8. 根式总结

根式运算法则：同次根式相乘，把根式前面的系数相乘，作为积的系数；把被开方数相乘，作为被开方数，根指数不变，然后再化成最简根式。

根式运算法则

相乘时：两个有平方根的数相乘等于根号下两数的乘积，再化简；

相除时:两个有平方根的数相除等于根号下两数的商,再化简;

相加或相减:没有其他方法,只有用计算器求出具体值再相加或相减;

分母为带根号的式子,首先让分母有理化,使②分母没有根号,而把根号转移到

同次根式相乘(除) ,把根式前面的系数相乘(除) ,作为积(商)的系数;把被开方数相乘(除) ,作为被开方数，根指数不变,然后再化成最简根式。非同次根式相乘(除) ,应先化成同次根式后,再按同次根式相乘(除)的法则。

根式的介绍

根式是数学的基本概念之一，是一种含有开方(求方根)运算的代数式，即含有根号的表达式。按根指数是偶数还是奇数,根式分别称为偶次根式或奇次根式。

若x的n次方=a，则x叫作a的n次方根，记作n√a=x，n√a叫做根式。根式的各部分名称：在根式n√a中，n叫做根指数，a叫做被开方数，“√”叫做根号。

根式中含有开方运算的代数式，如n√a=x（n为大于1的正整数，n为奇数时，a为一切实数；n为偶数时，a≥0），其中a叫作被开方数。

根式的来源

法国数学家笛卡尔（1596～1650年）第一个使用了现今用的根号“√￣”。有时被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√￣（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩）就为现时根号形式。立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号的使用，比如25的立方根用表示。以后，诸如√￣等等形式的根号渐渐使用开来。

最简根式

当根式满足以下三个条件时，称为最简根式。

被开方数的指数与根指数互质；

被开方数不含分母，即被开方数中因数是整数，因式是整式；

被开方数中不含开得尽方的因数或因式。

根式的易考知识点

根据字母的取值范围化简二次根式。

根据二次根式的化简结果确定字母的取值范围。

利用二次根式的性质求字母（或代数式）的最小（大）值。

利用平方差公式进行分母有理化的计算求值；再者就是相关最简二次根式、同类二次根式等相关的基础知识考察。

9. 根式性质及其运算

一、化合反应

1、镁在空气中燃烧：2Mg+O2点燃2MgO。

2、铁在氧气中燃烧：3Fe+2O2点燃Fe3O4。

3、铝在空气中燃烧：4Al+3O2点燃2Al2O3。

4、氢气在空气中燃烧：2H2+O2点燃2H2O。

5、红磷在空气中燃烧：4P+5O2点燃2P2O5。

6、硫粉在空气中燃烧：S+O2点燃SO2。

7、碳在氧气中充分燃烧：C+O2点燃CO2。

8、碳在氧气中不充分燃烧：2C+O2点燃2CO。

9、二氧化碳通过灼热碳层：C+CO2高温2CO。

10、一氧化碳在氧气中燃烧：2CO+O2点燃2CO2。

11、二氧化碳和水反应（二氧化碳通入紫色石蕊试液）：CO2+H2O===H2CO3。

12、生石灰溶于水：CaO+H2O===Ca(OH)2。

13、无水硫酸铜作干燥剂：CuSO4+5H2O===CuSO4·5H2O。

14、钠在氯气中燃烧：2Na+Cl2点燃2NaCl。

二、自然界中的水

1.水在直流电的作用下分解（研究水的组成实验）：2H2O通电2H2↑+O2↑。

2.生石灰溶于水：CaO+H2O==Ca(OH)2。

3.二氧化碳可溶于水：H2O+CO2==H2CO3。

三、质量守恒定律

1.镁在空气中燃烧：2Mg+O2点燃2MgO。

2.铁和硫酸铜溶液反应：Fe+CuSO4===FeSO4+Cu。

3.氢气还原氧化铜：H2+CuO加热Cu+H2O。

4.镁还原氧化铜：Mg+CuO加热Cu+MgO。

四、碳和碳的氧化物

（一）碳的化学性质

1、碳在氧气中充分燃烧：C+O2点燃CO2。

2、木炭还原氧化铜：C+2CuO高温2Cu+CO2↑。

3、焦炭还原氧化铁：3C+2Fe2O3高温4Fe+3CO2↑。

（二）煤炉中发生的三个反应：（几个化合反应）

4、煤炉的底层：C+O2点燃CO2。

5、煤炉的中层：CO2+C高温2CO。

6、煤炉的上部蓝色火焰的产生：2CO+O2点燃2CO2。

（三）二氧化碳的制法与性质：

7、大理石与稀盐酸反应（实验室制二氧化碳）：CaCO3+2HCl==CaCl2+H2O+CO2↑

8、二氧化碳可溶于水：H2O+CO2==H2CO3。

9、高温煅烧石灰石（工业制二氧化碳）：CaCO3高温CaO+CO2↑。

10、石灰水与二氧化碳反应（鉴别二氧化碳）：Ca(OH)2+CO2===CaCO3↓+H2O。

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