证明函数不等式的方法原理，如sinx小于x的证明，运用导数知识

一、证明函数不等式的方法原理，如sinx小于x的证明，运用导数知识

本文就应用导数和微分的知识证明不等式的几种方法给予论述。 一、应用微分中值定理证明不等式 微分中值定理如果函数,(z)在闭区间[。,6]上连续,在开区间(a,6)内可导,那么在(。,6)内至少有一点f,使得 厂(善)=赵掣,即,(6)一,(口)=厂(r)(6～。). 当函数的导数_厂(z)在开区间(口,6)内的变化范围已经知道时,即”r≤厂(z)≤M,z∈(。,6),根据微分中值定理,我们可用厂(f)(6一。)来代替f(b)一厂(n),证明形状为m(b一。)≤人6)～Jr(口)≤M(6一“)一类的不等式。 例I设0l,求证:矿盯. 证设-厂(z)=,,它在[1,z]上连续,在(1,z)内可导,由微分中值定理.

二、如何利用导数证明不等式

证明不等式是学生的弱点与难点，也是高考的热点。本文就以利用导数证明不等式为例，谈一些具体做法，仅供参考。 一、用函数的单调性证明不等式 注 用函数的单调性证明不等式的一般思路：（1）构造函数f（x）；（2）利用导数确定f（x）在某一区间的单调性；（3）依据该区间的单调性证不等式。 二、用函数的最值证明不等式

三、利用导数证明不等式

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原发布者:天道酬勤能补拙

高考数学优质专题（附经典解析）

利用导数证明不等式

基本方法：

解决这类问题关键是构造一个新的函数，再研究新函数在所考虑区间上的单调性和极值、最值；注意：构造新函数不同，确定符号难易程度可能不同，所以构造新函数时可对原不等式作适当的变形再进行构造.

先构造在赋值，证明和式或积式成立.

一、典型例题

1.已知函数，证明：.

2.已知函数.

（1）若，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.

二、课堂练习

1.已知，当时，求证：.

2.已知函数，.

（1）若对恒成立，求的取值范围；

（2）证明：不等式对于正整数恒成立（其中为自然对数的底数）.

三、课后作业

1.已知函数，当时，证明：.

2.已知，证明：.

3.已知函数（其中，）.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）求证：对于任意大于的正整数，都有.

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